Из предыдущего урока мы знаем, что если какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа.
Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, при этом оно должно быть максимально маленьким.
Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — это наименьшее число, которое кратно a и b. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число a и число b.
Определение содержит две переменные a и b. Давайте подставим вместо этих переменных любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 9, а вместо переменной b подставим число 12. Теперь попробуем прочитать определение:
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 — это наименьшее число, которое кратно 9 и 12. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число 9 и на число 12.
Из определения понятно, что НОК это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Этот НОК требуется найти.
Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться двумя способами. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ.
В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9. Итак, начнём. Кратные будем выделять красным цветом:
9 × 1 = 9
9 × 2 = 18
9 × 3 = 27
9 × 4 = 36
9 × 5 = 45
9 × 6 = 54
9 × 7 = 63
9 × 8 = 72
9 × 9 = 81
Теперь находим кратные для числа 12. Для этого, поочерёдно умножаем 12 на все числа 1 до 12:
12 × 1 = 12
12 × 2 = 24
12 × 3 = 36
12 × 4 = 48
12 × 5 = 60
12 × 6 = 72
12 × 7 = 84
12 × 8 = 96
12 × 9 = 108
12 × 10 = 120
12 × 11 = 132
12 × 12 = 144
Теперь выпишем кратные обоих чисел:
Кратные 9 это числа { 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 }
Кратные 12 это числа { 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144 }
Теперь находим общие кратные для обоих чисел. Найдя, сразу закрасим их синим цветом:
Кратные 9 { 9 18 27 36 45 54 63 72 }
Кратные 12 { 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 }
Общими кратными для чисел 9 и 12 являются числа { 36, 72 }. Теперь среди найденных общих кратных находим наименьшее. Очевидно, это число 36.
Значит наименьшее общее кратное для чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:
НОК (9 и 12) = 36
36 : 9 = 4
36 : 12 = 3
Второй способ нахождения НОК
Второй способ заключается в том, что числа, для которых ищется НОК раскладываются на простые множители. Затем, выписываются множители входящие в первое разложение, и добавляют недостающие множители из второго разложения. Полученные множители перемножают и получают НОК.
Применим данный способ для предыдущей задачи. Найдём НОК для чисел 9 и 12.
Разложим на множители число 9
разложение на множители числа 9
Разложим на множители число 12
Разложение на множители числа 12
Выпишем первое разложение:
3 × 3
Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет первом разложении. В первом разложении нет двух двоек. Их и допишем:
3 × 3 × 2 × 2
Теперь перемножаем эти множители:
3 × 3 × 2 × 2 = 36
Получили ответ 36. Значит наименьшее общее кратное для чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:
36 : 9 = 4
36 : 12 = 3
НОК (9 и 12) = 36
line
Говоря простым языком, всё сводится к тому, чтобы организовать новое разложение куда входят оба разложения сразу. Разложением первого числа 9 являлись множители 3 и 3, а разложением второго числа 12 являлись множители 2, 2 и 3.
Наша задача состояла в том, чтобы организовать новое разложение куда входило бы и разложение числа 9 и разложение числа 12 одновременно. Для этого мы выписали разложение первого числа и дописали туда множители из второго разложения, которых не было в первом разложении. В результате получили новое разложение 3 × 3 × 2 × 2. Нетрудно увидеть воочию, что в него одновременно входит и разложение числа 9 и разложение числа 12
Разложение чисел 9 и 12
Пример 2. Найти НОК чисел 50 и 180
Разложим на множители число 50
разложение на множители числа 50
Разложим на множители число 180
Разложение на множители числа 180
Выпишем первое разложение:
2 × 5 × 5
Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет первом разложении. В первом разложении нет ещё одной двойки и двух троек. Их и допишем:
2 × 5 × 5 × 2 × 3 × 3
Теперь перемножаем эти множители:
2 × 5 × 5 × 2 × 3 × 3 = 900
Получили ответ 900. Значит наименьшее общее кратное для чисел 50 и 180 это число 900. Данное число делится на 50 и 180 без остатка:
900 : 50 = 18
900 : 180 = 5
НОК (50 и 180) = 900
Пример 3. Найти НОК чисел 8, 15 и 33
Разложим на множители число 8
Разложение на множители числа 8
Разложим на множители число 15
разложение на множители числа 15
Разложим на множители число 33
Разложение на множители числа 33
Выпишем первое разложение:
2 × 2 × 2
Теперь допишем множители из второго и третьего разложения, которых нет первом разложении. Допишем множители 3 и 5 из второго разложения, и множитель 11 из третьего разложения:
2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 11
Теперь перемножаем эти множители:
2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 11 = 1320
Получили ответ 1320. Значит наименьшее общее кратное для чисел 8, 15 и 33 это число 1320. Данное число делится на 8, 15 и 33 без остатка:
1320 : 8 = 165
1320 : 15 = 88
1320 : 33 = 40
НОК (8, 15 и 33) = 1320
Третий способ нахождения НОК
Есть и третий способ нахождения наименьшего общего кратного. Он работает при условии, что его ищут для двух чисел и при условии, что уже найден наибольший общий делитель этих чисел.
Данный способ разумнее использовать, когда одновременно нужно найти и НОД и НОК двух чисел.
К примеру, пусть требуется найти НОД и НОК чисел 24 и 12. Сначала найдем НОД этих чисел:
нок для 24 и 12 для второго способа нахождения НОК step 1
Теперь для нахождения наименьшего общего кратного чисел 24 и 12, нужно перемножить эти два числа и полученный результат разделить на их наибольший общий делитель.
Итак, перемножим числа 24 и 12
нок для 24 и 12 для второго способа нахождения НОК step 2
Разделим полученное число 288 на НОД чисел 24 и 12
нок для 24 и 12 для второго способа нахождения НОК step 3
Получили ответ 24. Значит наименьшее общее кратное чисел 24 и 12 равно 24
НОК (24 и 12) = 24
Пример 2. Найти НОД и НОК чисел 36 и 48
Найдем НОД чисел 36 и 48
нок для 36 и 48 для второго способа нахождения НОК step 1
Перемножим числа 36 и 48
нок для 36 и 48 для второго способа нахождения НОК step 2
Разделим 1728 на НОД чисел 36 и 48
нок для 36 и 48 для второго способа нахождения НОК step 3
Получили 144. Значит наименьшее общее кратное чисел 36 и 48 равно 144
НОК(36 и 48) = 144
Для проверки можно найти НОК обычным вторым способом, которым мы пользовались ранее. Если мы всё сделаем правильно, то снова должны получить 144